Modélisation de l’évolution temporelle de la température d’un système en contact avec un thermostat

Énoncé du problème

Soit un système fermé (sans échange de matière avec l’extérieur), incompressible ($W=0$), de masse $m$ et de capacité thermique massique $c$, initialement à la température $\theta (t=0)={\theta }_0$.

On suppose que la température du système est homogène à tout instant $t$.

On suppose que ce système échange de la chaleur avec un milieu thermostaté à température constante ${\theta }_{th}$ par un transfert thermique conducto-convectif caractérisé par un coefficient d’échange thermique surfacique $h$ et une surface d’échange $S$.

Définitions

Transfert thermique $Q$

$$Q=C\cdot \mathrm{\Delta }\theta =m\cdot c\cdot \mathrm{\Delta }\theta (1)$$

voir le cours sur la capacité thermique pour plus de détails.

Flux thermique moyen

$${\varphi }_{moy}=\frac{Q}{\Delta t}$$

voir le cours sur le flux thermique pour plus de détails.

D'après $(1)$, on obtient :

$${\varphi }_{moy}=\frac{m\cdot c\cdot \mathrm{\Delta }\theta }{\Delta t}(2)$$

Flux thermique instantané

Lorsque $\mathrm{\Delta }t$ tend vers zéro, le flux thermique moyen devient le flux thermique instantané :

$$\begin{array}{rl}\varphi (t)& =\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}{\varphi }_{moy}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{m\cdot c\cdot \mathrm{\Delta }\theta }{\mathrm{\Delta }t}\\ & =m\cdot c\cdot \frac{d\theta (t)}{dt}(3)\end{array}$$

Loi phénoménologique de Newton

$$\varphi (t)=h\cdot S\cdot (\theta (t)-{\theta }_{th})(4)$$

voir le cours sur le flux thermique conducto-convectif pour plus de détails.

Équation différentielle

En combinant les équations $(3)$ et $(4)$, on obtient l’équation différentielle suivante :

$$m\cdot c\cdot \frac{d\theta (t)}{dt}=-h\cdot S\cdot (\theta (t)-{\theta }_{th})$$

On peut réécrire cette équation différentielle sous la forme standard :

$$\frac{d\theta (t)}{dt}+\frac{h\cdot S}{m\cdot c}\cdot \theta (t)=\frac{h\cdot S}{m\cdot c}\cdot {\theta }_{th}(5)$$

Ou encore :

$$\frac{d\theta (t)}{dt}+\frac{1}{\tau }\cdot \theta (t)=\frac{1}{\tau }\cdot {\theta }_{th}(6)$$

Avec $\tau =\frac{m\cdot c}{h\cdot S}$ le temps caractéristique.

Solution de l’équation différentielle

Cette équation différentielle $(5)$ admet pour solution :

$$\theta (t)={\theta }_{th}+({\theta }_0-{\theta }_{th})\cdot e^{-\frac{h\cdot S}{m\cdot c}\cdot t}$$

Ou d'après $(6)$ :

$$\theta (t)={\theta }_{th}+({\theta }_0-{\theta }_{th})\cdot e^{-\frac{t}{\tau }}$$

Avec $\tau =\frac{m\cdot c}{h\cdot S}$ le temps caractéristique.

Cette solution montre que la température du système évolue de manière exponentielle vers la température du milieu extérieur ${\theta }_{th}$ avec un temps caractéristique $\tau$ qui dépend des propriétés thermiques du système et des conditions d’échange thermique avec l’extérieur.

Identifier les paramètres sur un graphique

On peut identifier les paramètres la courbe de la température $\theta (t)$ en fonction du temps $t$ :

1. ${\theta }_0$ correspond à la valeur de la température à l’instant initial $t=0$.

2. ${\theta }_{th}$ correspond à la température finale lorsque $t$ tend vers l’infini. Il s'agit de l'asymptote horizontale de la courbe.

3. Le temps caractéristique $\tau$ :

   $$\begin{array}{rl}\text{À }t=\tau ,\theta (\tau )& ={\theta }_{th}+({\theta }_0-{\theta }_{th})\cdot e^{-\frac{\tau }{\tau }}\\ \theta (\tau )& ={\theta }_{th}+({\theta }_0-{\theta }_{th})\cdot e^{-1}\\ \theta (\tau )& \approx {\theta }_{th}+({\theta }_0-{\theta }_{th})\cdot 0.37\\ \Rightarrow \frac{\theta (\tau )-{\theta }_{th}}{{\theta }_0-{\theta }_{th}}& \approx 0.37\end{array}$$

   Graphiquement, $\tau$ correspond au temps nécessaire pour que la température du système atteigne environ 37 % de la différence entre la température initiale et la température finale ou 63 % de la différence entre la température finale et la température initiale.