Vecteur vitesse

Vitesse moyenne

Dans un référentiel donné, le vecteur vitesse moyenne $\overrightarrow{v_{moy}}$, en un point $M$ à la date $t$, est définit comme la variation du vecteur position $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{OM}$ par rapport au temps écoulé $\mathrm{\Delta }t$, soit $\overrightarrow{v_{moy}}=\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{OM}}{\mathrm{\Delta }t}$.

Pour déterminer le vecteur vitesse moyenne en un point $m_i$, utilise la méthode des points adjacents, soit :

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{v_{i,moy}}& =\frac{\overrightarrow{O{M}_{i+1}}-\overrightarrow{O{M}_{i-1}}}{t_{i+1}-t_{i-1}}\\ & =\frac{\overrightarrow{M_{i-1}{M}_{i+1}}}{t_{i+1}-t_{i-1}}\end{array}$$

Remarque

On remarque que $\overrightarrow{v_{i,moy}}$ est un vecteur de même direction que $\overrightarrow{M_{i-1}{M}_{i+1}}$. La norme de $\overrightarrow{v_{i,moy}}$, notée $v_{i,moy}$, est égale à $v_{i,moy}=\frac{M_{i-1}{M}_{i+1}}{t_{i+1}-t_{i-1}}$ et s’exprime dans le Système International en $m·s^{-1}$.

Attention

Cette méthode n’est pas valable pour les points extrêmes. En effet, il n’y a pas de point précédent $i-1$ pour le premier point, et pas de point suivant $i+1$ pour le dernier point. Dans ce cas, on fera l’approximation suivante pour le premier point $M_0$ à la date $t_0$ :

$$\overrightarrow{v_{0,moy}}=\frac{\overrightarrow{M_0{M}_1}}{t_1-t_0}$$

Et pour le dernier point $M_n$ et à la date $t_n$ :

$$\overrightarrow{v_{n,moy}}=\frac{\overrightarrow{M_{n-1}{M}_{n+1}}}{t_{n+1}-t_{n-1}}$$

Vitesse instantanée

Dans un référentiel donné, le vecteur vitesse instantanée $\overrightarrow{v}$, en un point $M$ à la date $t$, est définit comme la limite du vecteur $\overrightarrow{v_{moy}}$, lorsque $\mathrm{\Delta }t$ tend vers 0. Il s’agit de la vitesse moyenne pour des points adjacents "aussi proche que possible" dans le temps. On obtient donc :

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{v}& =\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\overrightarrow{v_{moy}}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{OM}}{\mathrm{\Delta }t}\\ & =\frac{d\overrightarrow{OM}}{dt}\end{array}$$

Le vecteur vitesse instantanée $\overrightarrow{v}$ est la dérivée du vecteur position $\overrightarrow{OM}$ par rapport au temps $t$.

Remarque

Le vecteur vitesse instantanée $\overrightarrow{v}$ est un vecteur tangent à la courbe représentant le vecteur position $\overrightarrow{OM}$.

On peut noter de façon plus synthétique les coordonnées du vecteur vitesse instantanée $\overrightarrow{v}$ dans le repère $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k})$ :

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{v}& =v_x(t)·\overrightarrow{i}+v_y(t)·\overrightarrow{j}+v_z(t)·\overrightarrow{k}\\ \overrightarrow{v}& =\frac{dx(t)}{dt}·\overrightarrow{i}+\frac{dy(t)}{dt}·\overrightarrow{j}+\frac{dz(t)}{dt}·\overrightarrow{k}\\ \overrightarrow{v}& =\left\{\begin{array}{c}{v}_x(t)=\frac{dx(t)}{dt}\\ v_y(t)=\frac{dy(t)}{dt}\\ v_z(t)=\frac{dz(t)}{dt}\end{array}\right\}\end{array}$$

La norme du vecteur vitesse instantanée $\overrightarrow{v}$ est égale à $v=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}$ et s’exprime dans le Système International en $m·s^{-1}$.