Mouvement circulaire uniforme

Système et référentiel

Système : le satellite de masse m, et de centre de masse S. Référentiel : centré sur l'astre attracteur de masse M, supposé Galiléen. Repère : L'étude du mouvement du centre de masse d'un satellite autour d'une astre peut se faire dans le repère de Frenet $(M,\overrightarrow{n},\overrightarrow{\tau })$ associé au satellite.

Accélération dans le repère de Frenet

Dans ce référentiel, le vecteur accélération peut s'exprimé ainsi :

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{a}& =a_n\times \overrightarrow{n}+a_{\tau }\times \overrightarrow{\tau }\\ & =\frac{v^2}{a}\times \overrightarrow{n}+\frac{dv}{dt}\times \overrightarrow{\tau }\end{array}$$

On le noter de façon synthétique :

$$\overrightarrow{a}=\left\{\begin{array}{c}{a}_n={\displaystyle \frac{v^2}{a}}\\ a_{\tau }={\displaystyle \frac{dv}{dt}}\end{array}\right\}$$

Attention

Le paramètre $a$ dans ${\displaystyle \frac{v^2}{a}}$ correspond au demi grand-axe de l'ellipse et non à l'accélération !

Dans le cadre d'un mouvement circulaire, le demi grand-axe $a$ est égale au rayon du cercle $R$. L'accélération devient :

$$\overrightarrow{a}=\left\{\begin{array}{c}{a}_n={\displaystyle \frac{v^2}{R}}\\ a_{\tau }={\displaystyle \frac{dv}{dt}}\end{array}\right\}$$

Bilan des forces extérieures appliquées au système

Si le satellite n'est soumis qu'à la force d'attraction de l'astre :

$$\overrightarrow{F_{astre/S}}=G\times \frac{m\times M}{R^2}\times \overrightarrow{n}$$

Application de la 2nde loi de Newton

$$\begin{array}{rl}\sum \overrightarrow{F_{ext}}& =m\times \overrightarrow{a}\\ G\times \frac{m\times M}{R^2}\times \overrightarrow{n}& =m\times \overrightarrow{a}\\ G\times \frac{M}{R^2}\times \overrightarrow{n}& =\overrightarrow{a}\end{array}$$

Dans le repère de Frenet, on a alors :

$$\overrightarrow{a}=\left\{\begin{array}{c}{a}_n=G\times \frac{M}{R^2}\\ a_{\tau }=0\end{array}\right\}$$

Or on a vu précédement que :

$$\overrightarrow{a}=\left\{\begin{array}{c}{a}_n={\displaystyle \frac{v^2}{R}}\\ a_{\tau }={\displaystyle \frac{dv}{dt}}\end{array}\right\}$$

On en déduit alors deux expressions :

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{v^2}{R}}& =G\times \frac{M}{R^2}\to v=\sqrt{\frac{G\times M}{R}}\\ {\displaystyle \frac{dv}{dt}}& =0\to v=\text{constante}\end{array}$$

A retenir

Lorsqu'un satellite à une trajectoire circulaire, sa vitesse est constante, son mouvement est donc circulaire uniforme.

Période de révolution

D'après la partie précédente, $v=\sqrt{{\displaystyle \frac{G\times M}{R}}}$. La distance parcourue pendant une révolution est le périmètre de l'orbite circulaire de rayon R : $d=2\pi R$.

$$\begin{array}{rl}T& ={\displaystyle \frac{d}{v}}\\ & ={\displaystyle \frac{2\pi R}{\sqrt{{\displaystyle \frac{G\times M}{R}}}}}\\ & =2\pi R\times \sqrt{{\displaystyle \frac{R}{G\times M}}}\\ & =2\pi \times \sqrt{{\displaystyle \frac{R^2\times R}{G\times M}}}\\ & =2\pi \times \sqrt{{\displaystyle \frac{R^3}{G\times M}}}\end{array}$$

3ème loi de Kepler dans le cadre d'un mouvement circulaire uniforme

$$\begin{array}{r}{T}^2={\displaystyle \frac{4{\pi }^2\times R^3}{G\times M}}\\ {\displaystyle \frac{T^2}{R^3}}={\displaystyle \frac{4{\pi }^2\times R^3}{R^3\times G\times M}}\\ {\displaystyle \frac{T^2}{R^3}}={\displaystyle \frac{4{\pi }^2}{G\times M}}\end{array}$$