Vecteur accélération

Accélération moyenne

Dans un référentiel donné, le vecteur accélération moyenne $\overrightarrow{a_{moy}}$, en un point $M$ à la date $t$, est définit comme la variation du vecteur vitesse $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$ par rapport au temps écoulé $\mathrm{\Delta }t$, soit $\overrightarrow{a_{moy}}=\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v_{moy}}}{\mathrm{\Delta }t}$.

Pour déterminer le vecteur accélération moyenne en un point $M_i$, utilise la méthode des points adjacents, soit :

$$\overrightarrow{a_{i,moy}}=\frac{\overrightarrow{v_{i+1}}-\overrightarrow{v_{i-1}}}{t_{i+1}-t_{i-1}}$$

Remarque

On remarque que $\overrightarrow{a_{i,moy}}$ est un vecteur de même direction que $\overrightarrow{v_{i+1}}-\overrightarrow{v_{i-1}}$. La norme de $\overrightarrow{a_{i,moy}}$, notée $a_{i,moy}$, est égale à $a_{i,moy}=\frac{||\overrightarrow{v_{i+1}}-\overrightarrow{v_{i-1}}||}{t_{i+1}-t_{i-1}}$ et s’exprime dans le Système International en $m·s^{-2}$.

Accélération instantanée

Dans un référentiel donné, le vecteur accélération instantanée $\overrightarrow{a}$, en un point $M$ à la date $t$, est définit comme la limite du vecteur $\overrightarrow{a_{moy}}$, lorsque $\mathrm{\Delta }t$ tend vers 0. Il s’agit de la accélération moyenne pour des points adjacents "aussi proche que possible" dans le temps. On obtient donc :

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{a}& =\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\overrightarrow{a_{moy}}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}}{\mathrm{\Delta }t}\\ & =\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}\\ & =\frac{d^2\overrightarrow{OM}}{d^{2}t}\end{array}$$

Le vecteur accélération instantanée $\overrightarrow{a}$ est la dérivée du vecteur vitesse $\overrightarrow{v}$ par rapport au temps $t$.

Attention

L’accélération est souvent perçue comme une augmentation de la valeur de la vitesse. Cependant, en physique il y a accélération même lorsque la vitesse diminue. De plus l’accélération est une grandeur vectorielle, décrivant la variation du vecteur vitesse. Ainsi il y a également accélération lorsque le vecteur vitesse change de direction, même si la valeur de la vitesse (norme du vecteur vitesse) ne change pas.

On peut noter de façon plus synthétique les coordonnées du vecteur accélération instantanée $\overrightarrow{a}$ dans le repère $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k})$ :

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{a}& =a_x(t)·\overrightarrow{i}+a_y(t)·\overrightarrow{j}+a_z(t)·\overrightarrow{k}\\ \overrightarrow{a}& =\frac{d{v}_x(t)}{dt}·\overrightarrow{i}+\frac{d{v}_y(t)}{dt}·\overrightarrow{j}+\frac{d{v}_z(t)}{dt}·\overrightarrow{k}\\ \overrightarrow{a}& =\frac{d^{2}x(t)}{d^{2}t}·\overrightarrow{i}+\frac{d^{2}y(t)}{d^{2}t}·\overrightarrow{j}+\frac{dz(t)}{d^{2}t}·\overrightarrow{k}\\ \overrightarrow{a}& =\left\{\begin{array}{c}{a}_x(t)=\frac{d{v}_x(t)}{dt}=\frac{d^{2}x(t)}{d^{2}t}\\ a_y(t)=\frac{d{v}_y(t)}{dt}=\frac{d^{2}y(t)}{d^{2}t}\\ a_z(t)=\frac{d{v}_z(t)}{dt}=\frac{d^{2}z(t)}{d^{2}t}\end{array}\right\}\end{array}$$

La norme du vecteur accélération instantanée $\overrightarrow{a}$ est égale à $a=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$ et s’exprime dans le Système International en $m·s^{-2}$.