Vecteur accélération

Accélération moyenne

Dans un référentiel donné, le vecteur accélération moyenne $\overrightarrow{a_{moy}}$, en un point $M$ à la date $t$, est définit comme la variation du vecteur vitesse $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$ par rapport au temps écoulé $\mathrm{\Delta }t$, soit $\overrightarrow{a_{moy}}=\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v_{moy}}}{\mathrm{\Delta }t}$.

Pour déterminer le vecteur accélération moyenne en un point $M_i$, utilise la méthode des points adjacents, soit :

$$\overrightarrow{a_{i,moy}}=\frac{\overrightarrow{v_{i+1}}-\overrightarrow{v_{i-1}}}{t_{i+1}-t_{i-1}}$$

Remarque

On remarque que $\overrightarrow{a_{i,moy}}$ est un vecteur de même direction que $\overrightarrow{v_{i+1}}-\overrightarrow{v_{i-1}}$. La norme de $\overrightarrow{a_{i,moy}}$, notée $a_{i,moy}$, est égale à $a_{i,moy}=\frac{||\overrightarrow{v_{i+1}}-\overrightarrow{v_{i-1}}||}{t_{i+1}-t_{i-1}}$ et s’exprime dans le Système International en $m·s^{-2}$.

Attention

$||\overrightarrow{v_{i+1}}-\overrightarrow{v_{i-1}}||$ n'est pas égal à $||\overrightarrow{v_{i+1}}||-||\overrightarrow{v_{i-1}}||$. En effet, la norme d'une différence de vecteurs n'est pas égale à la différence des normes des vecteurs.

Si les vecteurs $\overrightarrow{v_{i+1}}$ et $\overrightarrow{v_{i-1}}$ sont colinéaires, alors on a bien $||\overrightarrow{v_{i+1}}-\overrightarrow{v_{i-1}}||=||\overrightarrow{v_{i+1}}||-||\overrightarrow{v_{i-1}}||$. Mais c'est un cas particulier !

Accélération instantanée

Dans un référentiel donné, le vecteur accélération instantanée $\overrightarrow{a}$, en un point $M$ à la date $t$, est définit comme la limite du vecteur $\overrightarrow{a_{moy}}$, lorsque $\mathrm{\Delta }t$ tend vers 0. Il s’agit de la accélération moyenne pour des points adjacents "aussi proche que possible" dans le temps. On obtient donc :

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{a}& =\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\overrightarrow{a_{moy}}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}}{\mathrm{\Delta }t}\\ & =\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}\\ & =\frac{d^2\overrightarrow{OM}}{d{t}^2}\end{array}$$

Le vecteur accélération instantanée $\overrightarrow{a}$ est la dérivée du vecteur vitesse $\overrightarrow{v}$ par rapport au temps $t$.

Attention

L’accélération est souvent perçue comme une augmentation de la valeur de la vitesse. Cependant, en physique il y a accélération même lorsque la vitesse diminue. De plus l’accélération est une grandeur vectorielle, décrivant la variation du vecteur vitesse. Ainsi il y a également accélération lorsque le vecteur vitesse change de direction, même si la valeur de la vitesse (norme du vecteur vitesse) ne change pas.

On définit le vecteur accélération instantanée $\overrightarrow{a}$ dans le repère $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k})$, tel que :

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{a}& =a_x(t)·\overrightarrow{i}+a_y(t)·\overrightarrow{j}+a_z(t)·\overrightarrow{k}\\ \overrightarrow{a}& =\frac{d{v}_x(t)}{dt}·\overrightarrow{i}+\frac{d{v}_y(t)}{dt}·\overrightarrow{j}+\frac{d{v}_z(t)}{dt}·\overrightarrow{k}\\ \overrightarrow{a}& =\frac{d^{2}x(t)}{d{t}^2}·\overrightarrow{i}+\frac{d^{2}y(t)}{d{t}^2}·\overrightarrow{j}+\frac{d^{2}z(t)}{d{t}^2}·\overrightarrow{k}\end{array}$$

Ou de note de façon synthétique :

$$\overrightarrow{a}|\begin{array}{c}{a}_x(t)=\frac{d{v}_x(t)}{dt}=\frac{d^{2}x(t)}{d{t}^2}\\ a_y(t)=\frac{d{v}_y(t)}{dt}=\frac{d^{2}y(t)}{d{t}^2}\\ a_z(t)=\frac{d{v}_z(t)}{dt}=\frac{d^{2}z(t)}{d{t}^2}\end{array}$$

La norme du vecteur accélération instantanée $\overrightarrow{a}$ est égale à $a=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$ et s’exprime dans le Système International en $m·s^{-2}$.