Dynamique des fluides

La dynamique des fluides, ou hydrodynamique, est l'étude des fluides en mouvement.

Propriétés des fluides et écoulement

Un fluide, contrairement à un solide, est un milieu déformable et l'étude de son mouvement est complexe ; on étudie ainsi son écoulement.

Lors de cet écoulement les particules suivent des trajectoires appelées lignes de courant et tubes de courant (ensemble de lignes de courant). Pour pouvoir établir des relations mathématiques permettant de décrire l'écoulement, nous allons faire appel aux hypothèses suivantes :

• Le fluide est incompressible, c'est-à-dire que sa masse volumique $\rho$ est constante sous l'effet de la pression appliquée.
• Le fluide est parfait, c'est-à-dire non-visqueux et donc que les forces de frottement sont négligeables.
• Le fluide est en régime permanent, c'est-à-dire que toutes les propriétés du fluide (vitesse, pression, etc.) sont constantes dans le temps en chaque point de la ligne de courant.

Débit volumique

Important

Le débit volumique, noté $D_v$, est défini comme le volume de fluide qui traverse une section $S$ donnée par unité de temps. Pour un fluide incompressible, il est donné par la relation suivante :

$$D_v=S\cdot v$$

où :

• $S$ est la section traversée,
• $v$ est la vitesse d'écoulement du fluide.

Important

Le débit volumique $D_v$ d'un fluide incompressible, parfait et en régime permanent, se conserve le long d'une ligne de courant.

$$D_v=S\cdot v=\text{constante}$$

Ainsi, si le fluide s'écoule à travers une section $S_1$ avec une vitesse $v_1$ et à travers une section $S_2$ avec une vitesse $v_2$, alors on peut établir la relation suivante :

$$S_1\cdot v_1=S_2\cdot v_2$$

On peut ainsi observer que si la section d'écoulement diminue, alors la vitesse d'écoulement augmente, et inversement.

Relation de Bernoulli

La première formulation de la relation de Bernoulli apparaît dans Hydrodynamica - De viribus et motibus fluidorum commentarii de Daniel Bernoulli (première édition en 1738). C'est une relation fondamentale en dynamique des fluides qui exprime la conservation de l'énergie dans un fluide soumis uniquement aux forces de pression et de pesanteur, le long d'une ligne de courant.

Relation de Bernoulli

Un fluide incompressible, parfait et en régime permanent, soumis uniquement aux forces de pression et de pesanteur le long d'une ligne de courant, vérifie la relation de Bernoulli suivante :

$$\frac{1}{2}\cdot \rho \cdot v^2+\rho \cdot g\cdot z+P=\text{constante}$$

où :

• $\rho$ est la masse volumique du fluide,
• $v$ est la vitesse d'écoulement du fluide en un point d'étude de la ligne de courant,
• $g$ est l'intensité du champ de pesanteur,
• $z$ est l'altitude au point d'étude de la ligne de courant,
• $P$ est la pression du fluide au point d'étude de la ligne de courant.

Ainsi, si l'on considère deux points d'une ligne de courant, notés 1 et 2, alors on peut établir la relation suivante :

$$\frac{1}{2}\cdot \rho \cdot v_1^2+\rho \cdot g\cdot z_1+P_1=\frac{1}{2}\cdot \rho \cdot v_2^2+\rho \cdot g\cdot z_2+P_2$$

Remarque

On peut exprimer la relation de Bernoulli de différentes manières, en fonction des termes que l'on souhaite mettre en avant. Par exemple, il est possible de l'exprimer ainsi :

$$\frac{1}{2}\cdot v^2+g\cdot z+\frac{P}{\rho }=\text{constante}$$

D'après cette relation, on peut par exemple observer qu'à une altitude donnée, une augmentation de la vitesse du fluide entraîne une diminution de la pression, et inversement.

Lorsque $v=0$, on retrouve la relation liant la pression et l'altitude dans un fluide au repos, que nous avons vu en statique des fluides.

Relation de Bernoulli dans le cas d'une vidange : Relation de Torricelli

Dans le cas d'une vidange, c'est-à-dire lorsque le fluide s'écoule d'un réservoir vers l'extérieur, la relation de Bernoulli peut être simplifiée. En effet, si l'on considère que le fluide s'écoule à partir d'un point situé à une altitude $z_1$, à la surface du réservoir à la pression $P_1$, par une section $S_1$ et que le point de sortie du fluide est situé plus bas à une altitude $z_2$ par une section $S_2\ll S_1$, alors on peut faire les hypothèses suivantes :

• D'après la conservation du débit, si $S_2\ll S_1$, alors la vitesse $v_1\ll v_2$,
• La pression à la surface du fluide dans le réservoir est égale à la pression atmosphérique, soit $P_1=P_0$,
• La pression à la sortie du fluide est également égale à la pression atmosphérique, soit $P_2=P_0$.

Relation de Bernoulli entre les points 1 et 2 :

$$\begin{array}{rl}\frac{1}{2}\cdot \rho \cdot v_2^2+\rho \cdot g\cdot z_2+P_2& =\frac{1}{2}\cdot \rho \cdot v_1^2+\rho \cdot g\cdot z_1+P_1\\ \frac{1}{2}\cdot \rho \cdot v_2^2+\rho \cdot g\cdot z_2+P_0& =\frac{1}{2}\cdot \rho \cdot v_1^2+\rho \cdot g\cdot z_1+P_0\\ \frac{1}{2}\cdot \rho \cdot (v_2^2-v_1^2)& =\rho \cdot g\cdot (z_2-z_1)\\ v_2^2-v_1^2& =2\cdot g\cdot (z_2-z_1)\\ v_2^2& =2\cdot g\cdot (z_1-z_2)\end{array}$$

On en déduit le relation de Torricelli :

$$v_2=\sqrt{2\cdot g\cdot (z_1-z_2)}$$

Application de la relation de Bernoulli : L'effet Venturi

L'effet Venturi, du nom du physicien italien Giovanni Battista Venturi, est un phénomène physique qui se produit lorsqu'un fluide s'écoule horizontalement, à débit volumique constant, à travers une section rétrécie d'un conduit. Selon la relation de Bernoulli, si le conduit rétrécit, alors la vitesse découlement augmente (puisque le débit est le produit de la vitesse par la section, les deux varient à l'inverse). À l'inverse, si le conduit l'élargit, la vitesse d'écoulement diminue et sa pression augmente.

Voici une simulation interactive permettant d'observer l'effet Venturi : LABO MÉCA-FLUIDES / VENTURI par Vincent Durieux.